Dr. Synergetic

control of chaos

Что такое математическое моделирование?

пт, 10/07/2011 - 14:44 -- g3RamxW7P5tANUmd

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Математическое моделирование – метод познания, прогнозирования, управления.

Моделирование – неотъемлемая часть научной деятельности. Области приложения моделирования столь широки и разнообразны, что раздел блога, посвященный этой тематике, заведомо обречен быть неполным.

Сегодня термины математическое моделирование и компьютерное моделирование стали почти синонимами. Действительно, большинство математических моделей требует проведения расчетов на компьютере или, как часто говорят, компьютерных экспериментов. С другой стороны, любые вычисления возможны только на основе некоторой математической модели.

Построение математических моделей состоит из нескольких этапов:

  1. формулировка законов, связывающих основные объекты модели;
  2. исследование математической задачи;
  3. проверка, удовлетворяет ли модель критерию практики;
  4. анализ модели и ее модификации.

Этапы изучения математической модели:

Cоздание  качественной модели. На этом этапе выясняется характер законов и связей, действующих в системе. В зависимости от природы модели эти законы могут быть физическими, химическими, биологическими и т.д.  Из всего многообразия взаимодействий в системе необходимо выделить главные, определяющие. Не следует требовать от модели, чтобы она описывала все. Задача моделирования – выявить главные характерные черты поведения, его определяющие особенности. В связи с этим при построении модели следует учитывать только наиболее сильные эффекты.

Создание математической модели. На этом этапе наши представления о том, что же происходит в системе обретает математическую формулировку. Математическое выражение изучаемых процессов может быть и системой уравнений, и дифференциальным уравнением, и набором правил клеточного автомата.

Формулировка подходящей математической модели исследуемой проблемы включает в себя несколько подзадач.

  • Выделение, существенных факторов. С одной стороны, модель должна быть достаточно простой, с другой стороны, достаточно точной. Какие факторы являются существенными, а какими можно пренебречь, зависит от особенностей решаемой задачи.
  • Выяснение начальных, граничных, дополнительных условий.

Изучение математической задачи. На этом этапе проводится качественное исследование модели. Выясняется ее поведение в крайних и предельных ситуациях. Очень часто такие экстремальные ситуации допускают аналитическое решение (хотя бы приближенное). Полученные результаты позволяют предугадать поведение системы в общем случае, а так же служат для проверки результатов, полученных в результате вычислений.

Разработка алгоритмов. Очень часто полученная математическая задача не может быть решена аналитическими методами в общем случае, тогда модель исследуется численно, проводится компьютерный эксперимент. Для ряда часто встречающихся задач разработаны высокоэффективные алгоритмы.

Создание и реализация программы-YIC.

Вывод и накопление результатов. На этом этапе происходит так же обоснование модели, то есть подтверждение того, что полученное решение является разумным и достаточно точным. Для этого проводится сопоставление полученных данных с результатами качественного анализа. Если результаты неудовлетворенны, то проводится модификация модели.

Использование полученных результатов.

Существует много общего между проведением натурного и компьютерного эксперимента.

Лабораторный эксперимент Компьютерный эксперимент
Образец Математическая модель
Физический прибор Программа
Калибровка Тестирование программы
Измерения Расчеты
Анализ данных Анализ данных

Компьютерное моделирование незаменимо в тех случаях, когда натурный эксперимент проводить невозможно или затруднительно по тем или иным причинам. Например, невозможно поставить натурный эксперимент в истории тибетской пунктурной терапии (тибетской «акупунктуре»), чтобы проверить, «что было бы, если бы…». Однако это вполне можно сделать на компьютере. Автор на YIC моделях проверил правильность объединения тибетских «аттракторов и репеллоров» в пунктурной пейсмекерной терапии. Невозможно поставить натурный эксперимент, чтобы проверить правильность тибетской космологической теории, но вполне можно провести компьютерное моделирование. В принципе возможно, но вряд ли гуманно, поставить натурный эксперимент по распространению какой-либо эпидемии, например, чумы или распространению (метастазированию) онко-кинетики. Подобное YIC моделирование на компьютере не подвергает опасности здоровье человека.

Идея автомата с клеточной структурой почти также стара, как и идея электронно-вычислительной машины. В работах, посвященных  клеточным автоматам исследования приняли алгоритмическое направление. Конфигурации локально взаимодействующих клеток рассматриваются как потенциально важные модели физических систем – от снежинок до ферромагнетиков и Галактики. Они применимы также к вопросам биологической кибернетики и Mедицинской  Cинергетики. Возможно, наиболее интригующим является тот факт, что клеточный автомат может рассматриваться как «числовая вселенная», которая сама по себе достойна исследования, даже если отвлечься от ее полезности как модели реального мира.